定义
广义积分的定义不在此重复。大致就是让上限或者下限趋于奇点或者无穷的极限。比如$f(x)$在$(a, b)$上可积，那么
\int_a^b f(x)dx = \lim_{p\to a, q\to b}\int_p^q f(x) dx
g(x)在[a, +\infty)上可积，那么
\int_a^{+\infty} g(x) dx = \lim_{p\to +\infty} \int_a^{p} g(x)dx
敛散性的判断
从定义出发
显然可以从极限的定义出发，判断广义积分定义式里面的那个极限是否存在。这里用趋于无穷的极限举例。（f(x)在[a, +\infty)上可积，那么）
一方面，可以直接求不定积分，得到原函数F(x)，然后用Newton-Leibniz公式，那么就是研究这个极限是否存在
\lim_{x \to +\infty} F(x)
另一方面，可以用判断极限存在的方法。比如Cauchy极限存在准则。极限存在，意味对任意的$\epsilon$，取充分大的$p$、$q$总有下式成立：
\left|\int_p^q f(x) dx\right| \lt \epsilon
比较法
有两个结论需要记住
| 积分 | 收敛条件 | 发散条件 |
|---|
| \int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^p} | p > 1 | p \le 1 |
| \int_0^{1}\frac{dx}{x^p} | 0 < p < 1 | p \ge 1 |
类比调和级数，记住$f(x) = 1/x$的情况，然后其他的可以比出来。
进一步有下面的定理：
| 区间 | 条件1 | 条件2 |
|---|
| (a, b] | 0 < \alpha < 1 | (x-\alpha)^{\alpha} |
| [a, +\infty) | \alpha > 1 | x^{\alpha} |
两条的结论都是广义积分\int_?^? f(x)dx绝对收敛。
这个结论是从高木的《定本解析概论》里抄出来的，不过我感觉这个结论不是那么好用，也不好记。
从辅导书里面抄个例子出来，讨论一下反常积分的敛散性：
\int_1^{+\infty} \frac{(\arctan \frac{1}{x} )^\alpha}{ \left[ \ln (1 + 1/x) \right]^{2\beta}}dx
设
f(x)=\frac{(\arctan \frac{1}{x} )^\alpha}{ \left[ \ln (1 + 1/x) \right]^{2\beta}}
则有
\lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{x^{\alpha-2\beta}} = 1
意味着对于足够大的N，x > N时，有
(1 - \epsilon)x^{\alpha-2\beta} < f(x) < (1 + \epsilon)x^{\alpha-2\beta}
就有
\int_N^{+\infty}(1 - \epsilon)x^{\alpha-2\beta} < \int_N^{+\infty}f(x) < \int_N^{+\infty}(1 + \epsilon)x^{\alpha-2\beta}
可以注意到两侧的敛散性始终是一致的，而且结论在上面的表格中可查。两侧收敛，根据夹逼准则，中间也收敛，两侧都趋于无穷大，中间也趋于无穷大。
\Gamma函数
经常忘记，这里顺便记录一下
\Gamma(x) = \int_0^{+\infty} t^{x-1}e^{-t} dt
\Gamma(x+1) = x! (x \in \mathbb N)
\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}
怎么记准确呢？对于整数相当于阶乘换种写法，对于二分之一，则相当于高斯函数变个形。
